Question

11．設F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）與雙曲線C₂：$\frac{x^2}{a_1^2}$-$\frac{y^2}{b_1^2}$=1（a₁＞0，b₁＞0）的公共焦點，它們在第一象限內交于點M，∠F₁MF₂=90°，若橢圓的離心率e=$\frac{3}{4}$，則雙曲線C₂的離心率e₁為（　�。�

• A． $\frac{9}{2}$
• B． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 利用橢圓與雙曲線的定義列出方程，通過勾股定理求解離心率即可．

解答 解：由橢圓與雙曲線的定義，知|MF₁|+|MF₂|=2a，|MF₁|-|MF₂|=2a₁，
所以|MF₁|=a+a₁，|MF₂|=a-a₁．
因為∠F₁MF₂=90°，
所以${|{M{F_1}}|^2}+{|{M{F_2}}|^2}=4{c^2}$，即${a^2}+a_1^2=2{c^2}$，即${（{\frac{1}{e}}）^2}+{（{\frac{1}{e_1}}）^2}=2$，
因為$e=\frac{3}{4}$，
所以${e_1}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線以及橢圓的簡單性質的應用，考查計算能力．