Question

6．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=f（x）+x²-3x．
（1）求函數(shù)g（x）的圖象在點(diǎn)（1，g（1））處的切線方程；
（2）設(shè)斜率為k的直線與函數(shù)f（x）的圖象交于兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），證明：$\frac{1}{x_2}$＜k＜$\frac{1}{x_1}$．

Answer 1

分析 （1）求得g（x）的解析式和導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（2）運(yùn)用兩點(diǎn)的斜率公式可得k的關(guān)系式，運(yùn)用分析法證明，即證$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{x_2}＜ln\frac{x_2}{x_1}＜\frac{{{x_2}-{x_1}}}{x_1}$，令$t=\frac{x_2}{x_1}（{t＞1}）$，只需證1-$\frac{1}{t}$＜lnt＜t-1，令K（t）=lnt-t+1（t＞1），再令h（t）=lnt-1+$\frac{1}{t}$，求出導(dǎo)數(shù)，判斷符號(hào)，可得單調(diào)性，即可得證．

解答 解：（1）g（x）=lnx+x²-3x，
可得導(dǎo)數(shù)$g'（x）=\frac{1}{x}+2x-3$，
在點(diǎn)（1，g（1））處的切線斜率為g′（1）=0，g（1）=-2，
可得切線方程為y=-2；
（2）由題意可得k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
要證原不等式成立只需證$\frac{1}{x_2}＜\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}＜\frac{1}{x_1}$，
由x₂＞x₁，即證$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{x_2}＜ln\frac{x_2}{x_1}＜\frac{{{x_2}-{x_1}}}{x_1}$，
令$t=\frac{x_2}{x_1}（{t＞1}）$，只需證1-$\frac{1}{t}$＜lnt＜t-1，
令K（t）=lnt-t+1（t＞1），$K'（t）=\frac{1}{t}-1＜0$
可得K（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，K（t）＜K（1）=0成立，
即為lnt＜t-1；
令$h（t）=lnt+\frac{1}{t}-1（{t＞1}），h'（t）=\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}＞0$，
可得h（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，即有h（t）＞h（1）=0成立，
即有1-$\frac{1}{t}$＜lnt．
綜上所述：$\frac{1}{x_2}＜k＜\frac{1}{x_1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)性的判斷，考查不等式的證明，注意運(yùn)用分析法和構(gòu)造函數(shù)法，運(yùn)用單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．