Question

【題目】設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知．

（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）令，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）an=2n+1；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）依題意有an2+2an=4Sn+3①，當(dāng)n≥2時(shí)an-12+2an-1=4Sn-1+3②，兩式對(duì)應(yīng)相減an-an-1-2=0（n≥2），再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）由題得=（-），再利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

（Ⅰ）依題意有an2+2an=4Sn+3①

當(dāng)n=1時(shí)a12+2a1=4S1+3，解得a1=3，

當(dāng)n≥2是an-12+2an-1=4Sn-1+3②，

①-②得（an+an-1）（an+an-1-2）=0，

∵an＞0，

∴an+an-1＞0，

∴an-an-1-2=0（n≥2），

∴{an}成等差數(shù)列，得an=3+2（n-1）=2n+1．

（Ⅱ）===（-），

∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=（1-++…+-）=（1-）=