【題目】已知函數(shù).

若曲線處的切線斜率為0,求a的值;

(Ⅱ)若恒成立,求a的取值范圍;

(Ⅲ)求證:當(dāng)時(shí),曲線 (x>0)總在曲線的上方.

【答案】(I). (II).(III)見(jiàn)解析.

【解析】試題分析:(Ⅰ)利用導(dǎo)函數(shù)在x=0處的值等于零,可以求出a的值.

(Ⅱ).,,三種情況討論求的最小值即可;

(Ⅲ) 當(dāng)時(shí),構(gòu)造,證明

試題解析:(I)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

因?yàn)?/span>,所以.

.

(II).

當(dāng)時(shí),令.

時(shí),;時(shí),.

上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)時(shí),有最小值.

恒成立”等價(jià)于“最小值大于等于0”,即.

因?yàn)?/span>,所以.

當(dāng)時(shí),符合題意;

當(dāng)時(shí),取,則,不符合題意.

綜上,若對(duì)恒成立,則的取值范圍為.

(III)當(dāng)時(shí),令,可求.

因?yàn)?/span>,,且上單調(diào)遞增,

所以在(0,)上存在唯一的,使得,即,且

.

當(dāng)變化時(shí),在(0,)上的情況如下:

0

極小

則當(dāng)時(shí),存在最小值,.

因?yàn)?/span>,所以.

所以當(dāng)時(shí),

所以當(dāng)時(shí),曲線總在曲線的上方.

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