13.某三棱柱被一個平面截去一部分后所得的幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖是邊長為2的正三角形,則截去部分和剩余部分的體積之比為( 。
A.$\frac{10}{33}$B.$\frac{13}{36}$C.$\frac{13}{23}$D.$\frac{23}{33}$

分析 如圖所示,由三視圖可知:該幾何體為正三棱柱的一部分,其中M,N分別為B1B,B1C1的中點(diǎn),F(xiàn)點(diǎn)在A1C1上,且FC1=$\frac{1}{3}{A}_{1}{C}_{1}$,則該截面為AMNF.利用三棱柱與三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出.

解答 解:如圖所示,由三視圖可知:該幾何體為正三棱柱的一部分,其中M,N分別為B1B,B1C1的中點(diǎn),F(xiàn)點(diǎn)在A1C1上,且FC1=$\frac{1}{3}{A}_{1}{C}_{1}$,則該截面為AMNF.
連接MN,并延長交CC1的延長線于點(diǎn)E,交CB的延長線于點(diǎn)D,三棱柱的體積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2×4=4$\sqrt{3}$
設(shè)截去的部分和剩余的部分的體積分別為V1,V2,EC1=2,BD=1,
∴${V}_{E-F{C}_{1}N}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{6}$×2=$\frac{\sqrt{3}}{9}$.VM-ABD=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.VA-DCE=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×9$=3$\sqrt{3}$.
∴V1=3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{9}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{23\sqrt{3}}{9}$,V2=$4\sqrt{3}$-$\frac{23\sqrt{3}}{9}$=$\frac{13\sqrt{3}}{9}$,
∴$\frac{{V}_{2}}{{V}_{1}}$=$\frac{13}{23}$.

點(diǎn)評 本題考查了三視圖的有關(guān)計(jì)算、三棱柱與三棱錐的體積計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

3.對于函數(shù)f(x),在給定區(qū)間[a,b]內(nèi)任取n+1(n≥2,n∈N*)個數(shù)x0,x1,x2,…,xn,使得
a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b,記S=$\sum_{i=0}^{n-1}$|f(xi+1)-f(xi)|.若存在與n及xi(i≤n,i∈N)均無關(guān)的正數(shù)A,使得S≤A恒成立,則稱f(x)在區(qū)間[a,b]上具有性質(zhì)V.
(1)若函數(shù)f(x)=-2x+1,給定區(qū)間為[-1,1],求S的值;
(2)若函數(shù)f(x)=$\frac{x}{{e}^{x}}$,給定區(qū)間為[0,2],求S的最大值;
(3)對于給定的實(shí)數(shù)k,求證:函數(shù)f(x)=klnx-$\frac{1}{2}$x2 在區(qū)間[1,e]上具有性質(zhì)V.

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4.如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC,底面邊長的側(cè)棱長均為2,A1B=$\sqrt{6}$.
(1)求證:A1B⊥平面AB1C.
(2)求證A1到平面BB1C1C的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

1.已知圓E:(x-1)2+y2=4,線段AB、CD都是圓E的弦,且AB與CD垂直且相交于坐標(biāo)原點(diǎn)O,如圖所示,設(shè)△AOC的面積為S1,設(shè)△BOD的面積為S2;
(1)設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x1,用x1表示|OA|;
(2)求證:|OA|•|OB|為定值;
(3)用|OA|、|OB|、|OC|、|OD|表示出S1+S2,試研究S1+S2是否有最小值,如果有,求出最小值,并寫出此時直線AB的方程;若沒有最小值,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

8.蘇州市舉辦“廣電狂歡購物節(jié)”促銷活動,某廠商擬投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi),對所售產(chǎn)品進(jìn)行促銷,經(jīng)調(diào)查測算,該促銷產(chǎn)品在狂歡購物節(jié)的銷售量p萬件與廣告費(fèi)用 x萬元滿足p=3-$\frac{2}{x+1}$(其中 0≤x≤a,a為正常數(shù)).已知生產(chǎn)該批產(chǎn)品 p萬件還需投入成本(10+2p)萬元(不含廣告費(fèi)用),產(chǎn)品的銷售價格定為(4+$\frac{20}{p}}$)元/件,假定廠商生產(chǎn)的產(chǎn)品恰好能夠售完.
(1)將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為廣告費(fèi)用x萬元的函數(shù);
(2)問廣告費(fèi)投入多少萬元時,廠商的利潤最大?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

18.如圖所示,△ABC是邊長為2的正三角形,EC⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,且M為AE的中點(diǎn),CE=CA=2BD.
(1)求證:DM∥平面ABC;
(2)求證:平面DEA⊥平面ECA;
(3)求點(diǎn)E到平面ACD的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

5.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則幾何體的體積為( 。
A.$\frac{2π}{3}$+$\frac{1}{6}$B.$\frac{π}{3}$+$\frac{1}{3}$C.$\frac{π}{3}$+$\frac{1}{6}$D.$\frac{\sqrt{2}π}{6}$+$\frac{1}{6}$

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2.已知函數(shù)g(x)=ax與h(x)=-lnx的圖象上存在關(guān)于x軸對稱的點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
A.(0,$\frac{2}{e}$)B.($\frac{1}{e}$,+∞)C.(e,+∞)D.(-∞,$\frac{1}{e}$]

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3.已知向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow$,$\overrightarrow{c}$滿足:|$\overrightarrow{a}$|=1,|$\overrightarrow$|=2,$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$,且$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{a}$.
(1)求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角;
(2)求|3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|.

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