Question

20．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，AA₁=2$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，BC=1，則球O的體積為（　�。�

• A． $\frac{20}{3}π$
• B． $\frac{25}{3}π$
• C． $\frac{28}{3}π$
• D． $\frac{32}{3}π$

Answer 1

分析 畫出球的內(nèi)接直三棱ABC-A₁B₁C₁，作出球的半徑，然后可求球的體積．

解答 解：如圖，連接上下底面中心，O為PQ的中點(diǎn)，OP⊥平面ABC，則球的半徑為OA，
∵∠BAC=30°，BC=1，在△ABC中，由正弦定理可得，
∴2r=AP=$\frac{BC}{sin∠BAC}$=$\frac{1}{sin30°}$=2，
∴r=1
∵AA₁=2$\sqrt{3}$，
∴OP=$\sqrt{3}$，
∴OA=$\sqrt{1+3}$=2
所以球的體積為：$\frac{4}{3}π•{2}^{3}$=$\frac{32}{3}$π
故選D．

點(diǎn)評 本題考查球的體積和表面積，球的內(nèi)接體問題，考查學(xué)生空間想象能力和理解能力，是基礎(chǔ)題．