Question

已知函數(shù)f（x）=a^x-2

4-ax

-1（a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域、值域；
（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)定義域?yàn)閇1，+∞）時(shí)，f（x）≥0恒成立．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0得a^x≤4．然后分a＞1，0＜a＜1求得函數(shù)的定義域．令t=

4-ax

換元，配方后利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)f（x）的值域；
（2）結(jié)合（1）中的函數(shù)定義域可得0＜a＜1時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)閇log_a4，+∞）．然后把使定義域?yàn)閇1，+∞）時(shí)，f（x）≥0恒成立，轉(zhuǎn)化為

loga4≤1① ax-1≥2 4-ax ②

，分析可知f（x）≥0恒成立的實(shí)數(shù)a的值不存在．

解答： 解：（1）由4-a^x≥0，得a^x≤4．
當(dāng)a＞1時(shí)，x≤log_a4；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x≥log_a4．
即當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的定義域?yàn)椋?∞，log_a4]；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的定義域?yàn)閇log_a4，+∞）．
令t=

4-ax

，則0≤t＜2，且a^x=4-t²，
∴f（x）=g（t）=4-t²-2t-1=-（t+1）²+4，
當(dāng)t≥0時(shí)，g（x）是t的單調(diào)減函數(shù)，
∴g（2）＜g（t）≤g（0），即-5＜f（x）≤3，
∴函數(shù)f（x）的值域是（-5，3]；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的定義域?yàn)椋?∞，log_a4]，不滿足題意；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)閇log_a4，+∞）．
要使定義域?yàn)閇1，+∞）時(shí)，f（x）≥0恒成立，
則

loga4≤1① ax-1≥2 4-ax ②

，
由①得：a≤4，又0＜a＜1，∴0＜a＜1；
由②得：a^x≥3．此式對于任意0＜a＜1不滿足在[1，+∞）上恒成立．
綜上，當(dāng)定義域?yàn)閇1，+∞）時(shí)，f（x）≥0恒成立的實(shí)數(shù)a的值不存在．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，訓(xùn)練了利用換元法求函數(shù)的值域，對于（2）的解答，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．