Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線相交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=8．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l為拋物線C的切線且l∥MN，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題可知直線MN的方程為：y=x-

p

2

，代入y²=2px 化簡，利用韋達(dá)定理以及拋物線的定義、|MN|=8求得p的值，可得拋物線的方程．
（2）設(shè)l方程為y=x+b，代入y²=4x 化簡，再利用判別式△=0，解得b的值，可得l的方程．

解答： 解：（1）由題可知F（

p

2

，0），則該直線MN的方程為：y=x-

p

2

，
代入y²=2px，化簡可得x²-3px+

p2

4

=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則有x₁=x₂=3p．
∵|MN|=8，∴有x₁+x₂+p=8，解得p=2，
∴拋物線的方程為：y²=4x．
（2）設(shè)l方程為y=x+b，代入y²=4x，可得x²+（2b-4）x+b²=0，
因?yàn)閘為拋物線C的切線，∴△=0，解得b=1，
∴l(xiāng)的方程為：y=x+1．

點(diǎn)評：本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．