Question

19．已知函數(shù)f（x）=log₂$\frac{2x^2}{x^2+1}$（x＞0），若函數(shù)g（x）=f（x）²+m$|\begin{array}{l}{f（x）}\end{array}|$+2m+3有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的最大值為（　�。�

• A． $\frac{4}{3}$
• B． -$\frac{4}{3}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． -$\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 先判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性和取值范圍，利用換元法，設(shè)|f（x）|=t，則函數(shù)g（x）=f（x）²+m$|\begin{array}{l}{f（x）}\end{array}|$+2m+3有三個(gè)不同的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即為t²+mt+2m+3=0有兩個(gè)根，且一個(gè)在（0，1）上，一個(gè)在[1，+∞）上，由此可得結(jié)論．利用根的分布進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵$\frac{2x^2}{x^2+1}$=$\frac{2（{x}^{2}+1）-2}{{x}^{2}+1}$=2-$\frac{2}{{x}^{2}+1}$，
∴當(dāng)x＞0時(shí)y=$\frac{2x^2}{x^2+1}$為增函數(shù)，且y=$\frac{2x^2}{x^2+1}$∈（0，2），
則f（x）為增函數(shù)，且f（x）∈（-∞，1），
設(shè)t=f（x），則t＜1，
則函數(shù)g（x）=f（x）²+m$|\begin{array}{l}{f（x）}\end{array}|$+2m+3有三個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)為y=t²+m|t|+2m+3在t＜1時(shí)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
y=|f（x）|大致圖象如圖所示，
即方程|t|²+m|t|+2m+3=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即為t²+mt+2m+3=0有兩個(gè)根，且一個(gè)在（0，1）上，一個(gè)在[1，+∞）上，
設(shè)h（t）=t²+mt+2m+3，
①當(dāng)有一個(gè)根為1時(shí)，h（1）=1²+m+2m+3=0，$m=-\frac{4}{3}$，此時(shí)另一根為$\frac{1}{3}$適合題意； 
②當(dāng)沒有根為1時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}h（0）＞0\\ h（1）＜0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}2m+3＞0\\{1^2}+m+2m+3＜0\end{array}\right.$，
∴$-\frac{3}{2}＜m＜-\frac{4}{3}$，
綜上-$\frac{3}{2}$＜m≤-$\frac{4}{3}$；
∴實(shí)數(shù)m的最大值為的取值范圍為-$\frac{4}{3}$；
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用及方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，利用數(shù)形結(jié)合以及換元法和轉(zhuǎn)化法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．