4.求證:(1+$\frac{1}{{2}^{4}}$)(1+$\frac{1}{{3}^{4}}$)…(1+$\frac{1}{{n}^{4}}$)<e.

分析 設(shè)f(x)=ln(1+x2)-x,運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性,可得ln(1+x2)<x,利用放縮法即可證明不等式.

解答 證明:設(shè)f(x)=ln(1+x2)-x,
則f′(x)=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$-1=$\frac{-(x-1)^{2}}{1+{x}^{2}}$≤0,
可得函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減.
當(dāng)x>0時,f(x)<f(0),
所以ln(1+x2)-x<0,即ln(1+x2)<x.
所以ln(1+$\frac{1}{{2}^{4}}$)(1+$\frac{1}{{3}^{4}}$)…(1+$\frac{1}{{n}^{4}}$)
=ln(1+$\frac{1}{{2}^{4}}$)+ln(1+$\frac{1}{{3}^{4}}$)+…+ln(1+$\frac{1}{{n}^{4}}$)
<$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$<$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n(n-1)}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=1-$\frac{1}{n}$<1,
所以(1+$\frac{1}{{2}^{4}}$)(1+$\frac{1}{{3}^{4}}$)…(1+$\frac{1}{{n}^{4}}$)<e.

點評 本題考查了不等式的證明,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題,以及利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式,在證明不等式的過程中使用了放縮法證明不等式,綜合性較強,難度較大.

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16.(普通中學(xué)做)若正實數(shù)x,y滿足2x+y+6=xy,則xy的最小值為( 。
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