Question

17．對任意兩個非零的平面向量$\overrightarrow{α}$和$\overrightarrow{β}$，定義$\overrightarrow{α}$○$\overrightarrow{β}$=$\frac{\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}}{\overrightarrow{β}•\overrightarrow{β}}$，若兩個非零的平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，滿足$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），且$\overrightarrow{a}$○$\overrightarrow$與$\overrightarrow$○$\overrightarrow{a}$都在集合{$\frac{n}{2}$|n∈Z}中，則$\overrightarrow{a}$○$\overrightarrow$=（　　）

• A． $\frac{5}{2}$或$\frac{3}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$或1
• C． 1或$\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$或$\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 由題意利用兩個向量的數(shù)量積的定義求得$\overrightarrow{a}$○$\overrightarrow$的解析式，得到cos²θ=$\frac{mn}{4}$∈（0，$\frac{3}{4}$），可得整數(shù)m，n的值，從而求得$\overrightarrow{a}$○$\overrightarrow$的值．

解答 解：由題意可得則$\overrightarrow{a}$○$\overrightarrow$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{\overrightarrow•\overrightarrow}$=$\frac{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}{{|\overrightarrow|}^{2}}$cosθ=$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow|}$cosθ=$\frac{n}{2}$，同理可得$\overrightarrow$○$\overrightarrow{a}$=$\frac{|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}$cosθ=$\frac{m}{2}$，m、n∈Z．
∵θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），∴cosθ∈（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），∴cos²θ=$\frac{mn}{4}$∈（0，$\frac{3}{4}$），根據(jù)$\overrightarrow{a}$○$\overrightarrow$與$\overrightarrow$○$\overrightarrow{a}$都在集合{$\frac{n}{2}$|n∈Z}中，
∴m=1，n=2，或 m=2，n=1，或m=1，n=1，
∴$\overrightarrow{a}$○$\overrightarrow$=1 或$\frac{1}{2}$，
故選：C．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，得到m、n∈z，且$\frac{mn}{4}$∈（0，$\frac{3}{4}$），是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．