Question

20．已知命題p：方程x²+y²-ax+y+1=0表示圓；命題q：方程2ax+（1-a）y+1=0表示斜率大于1的直線，若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 若命題p∨q為真命題，p∧q，命題p，q一真一假，進而可得滿足條件的a的取值范圍．

解答 解：若x²+y²-ax+y+1=0表示圓，
則a²+1-4＞0，
解得：a∈（-∞，$-\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞），
故命題p：a∈（-∞，$-\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞），
若方程2ax+（1-a）y+1=0表示斜率大于1的直線，
則$\frac{2a}{a-1}$＞1解得：a∈（-∞，-1）∪（1，+∞），
故命題q：a∈（-∞，-1）∪（1，+∞），
若p∨q為真命題，p∧q為假命題，
則p，q一真一假；
當p真q假時，a∈（-∞，$-\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞）且a∈[-1，1]，不存在滿足條件的a值；
當p假q真時，a∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]且a∈（-∞，-1）∪（1，+∞），
故a∈[-$\sqrt{3}$，-1）∪（1，$\sqrt{3}$]

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，圓的一般方程，直線斜率等知識點，難度中檔．