Question

18．為落實(shí)國(guó)務(wù)院“十三五”規(guī)劃中的社會(huì)民生建設(shè)，某醫(yī)院到社區(qū)檢查老年人的體質(zhì)健康情況．從該社區(qū)全體老年人中，隨機(jī)抽取12名進(jìn)行體質(zhì)健康測(cè)試，測(cè)試成績(jī)（百分制）以莖葉圖形式如圖：根據(jù)老年人體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)，成績(jī)不低于80的為優(yōu)良．
（Ⅰ）將頻率視為概率．根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，在該社區(qū)全體老年人中任選3人進(jìn)行體質(zhì)健康測(cè)試，求至少有1人成績(jī)是“優(yōu)良”的概率；
（Ⅱ）從抽取的12人中隨機(jī)選取3人，記ξ表示成績(jī)“優(yōu)良”的人數(shù)，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）從該社區(qū)中任選1人，成績(jī)是“優(yōu)良”的概率為$\frac{2}{3}$，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出至少有1人成績(jī)是“優(yōu)良”的概率．
（Ⅱ）由題意可得，ξ的可能取值為0，1，2，3．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列及期望．

解答 解：（Ⅰ）抽取的12人中成績(jī)是“優(yōu)良”的頻率為$\frac{2}{3}$，
故從該社區(qū)中任選1人，成績(jī)是“優(yōu)良”的概率為$\frac{2}{3}$，…（2分）
設(shè)“在該社區(qū)老人中任選3人，至少有1人成績(jī)是‘優(yōu)良’的事件”為A，
則$P（A）=1-C_3^0×{（1-\frac{2}{3}）^3}=1-\frac{1}{27}=\frac{26}{27}$；                …（5分）
（Ⅱ）由題意可得，ξ的可能取值為0，1，2，3．
$P（ξ=0）=\frac{C_4^3}{{C_{12}^3}}=\frac{4}{220}=\frac{1}{55}$，
$P（ξ=1）=\frac{C_8^1C_4^2}{{C_{12}^3}}=\frac{48}{220}=\frac{12}{55}$，
$P（ξ=2）=\frac{C_8^2C_4^1}{{C_{12}^3}}=\frac{112}{220}=\frac{28}{55}$，
$P（ξ=3）=\frac{C_8^3}{{C_{12}^3}}=\frac{56}{220}=\frac{14}{55}$，…（9分）
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{55}$	$\frac{12}{55}$	$\frac{28}{55}$	$\frac{14}{55}$

$Eξ=0×\frac{1}{55}+1×\frac{12}{55}+2×\frac{28}{55}+3×\frac{14}{55}=2$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．