Question

10．已知圓M：（x-m）²+y²=1的切線l，當(dāng)l的方程為y=1時，直線l與橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）相切，且橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)m＜0時，設(shè)S表示三角形的面積，若M的切線l：y=kx+$\sqrt{2}$與橢圓C交于不同的兩點P，Q，當(dāng)$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{2}{3}$時，求S_△MPQ的值．

Answer 1

分析 （1）由直線l：y=1與橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）相切，且橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．可得：b=1，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解得即可得出．
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為$（1+2{k}^{2}）{x}^{2}+4\sqrt{2}kx$+2=0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），△＞0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：y₁y₂=k²x₁x₂+$\sqrt{2}k$（x₁+x₂）+2.$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{2}{3}$，解得k²=1．利用|PQ|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．即可得出S_△MPQ．

解答 解：（1）∵直線l：y=1與橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）相切，且橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴b=1，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得b=c=1，a²=2．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為$（1+2{k}^{2}）{x}^{2}+4\sqrt{2}kx$+2=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），△=32k²-8（1+2k²）＞0，解得k²$＞\frac{1}{2}$．
∴x₁+x₂=$\frac{-4\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$．
∴y₁y₂=$（k{x}_{1}+\sqrt{2}）（k{x}_{2}+\sqrt{2}）$=k²x₁x₂+$\sqrt{2}k$（x₁+x₂）+2=$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+2=$\frac{2-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{2-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{4-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，解得k²=1$＞\frac{1}{2}$．
∴|PQ|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2×（\frac{32}{9}-\frac{8}{3}）}$=$\frac{4}{3}$．
∵M(jìn)的切線l：y=x+$\sqrt{2}$，
∴$\frac{|m+\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=1，m＜0，解得m=-2$\sqrt{2}$．
∴S_△MPQ=$\frac{1}{2}×1×\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．