Question

3．如圖，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一點．
（Ⅰ）若AB=6$\sqrt{2}$，PA=4$\sqrt{2}$，OP=3，求⊙O的半徑；
（Ⅱ）若C是圓O上一點，且CA=CB，線段CE交AB于D．求證：△CAD～△CEA．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接OA，設(shè)OA=r，取AB中點F，連接OF，則OF⊥AB，利用勾股定理求出⊙O的半徑；
（Ⅱ）利用CA=CB，得出∠CAD=∠B，利用三角形相似的判定定理證明：△CAD～△CEA．

解答 解：（Ⅰ）連接OA，設(shè)OA=r
取AB中點F，連接OF，則OF⊥AB，
∵$AB=6\sqrt{2}，PA=4\sqrt{2}$，∴$AF=3\sqrt{2}$，
∴$PB=2\sqrt{2}，F(xiàn)P=\sqrt{2}$．…（2分）
又OP=3，Rt△OFP中，OF²=OP²-FP²=9-2=7，…（4分）
Rt△OAF中，${r^2}=O{A^2}=A{F^2}+O{F^2}={（3\sqrt{2}）^2}+7=25$，…（6分）
∴r=5
證明：（Ⅱ）∵CA=CB，
∴∠CAD=∠B
又∵∠B=∠E，
∴∠CAD=∠E…（8分）
∵∠ACE為公共角，
∴△CAD∽△CEA…（10分）

點評 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查勾股定理的運用，屬于中檔題．