Question

11．已知a＞0，且對(duì)一切x≥0，有e^ax-ax²≥0，則a的取值范圍是[$\frac{4}{{e}^{2}}$，+∞）．

Answer 1

分析 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為ax≥lnax²，令h（x）=ax-lnax²，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最小值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：x=0時(shí)，成立，
x＞0時(shí)，e^ax-ax²≥0，
即e^ax≥ax²，兩邊取對(duì)數(shù)：
ax≥lnax²，
令h（x）=ax-lnax²，
h′（x）=a-$\frac{2ax}{{ax}^{2}}$=$\frac{ax-2}{x}$，
令h′（x）＞0，解得：x＞$\frac{2}{a}$，
令h′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{2}{a}$，
故h（x）在（0，$\frac{2}{a}$）遞減，在（$\frac{2}{a}$，+∞）遞增，
∴h（x）_min=h（$\frac{2}{a}$）=2-ln$\frac{4}{a}$≥0，
解得：a≥$\frac{4}{{e}^{2}}$，
故答案為：[$\frac{4}{{e}^{2}}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．