Question

16．已知f（x）是定義在R的偶函數(shù)，且當x≥0時$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（x+1）$．
（1）求f（0）、f（-1）的值；  
（2）求f（x）的表達式；
（3）若f（a-1）＜f（3-a），試求a取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將x=0，x=-1帶入直接計算．
（2）利用定義在R的偶函數(shù)，f（-x）=f（x）即可求解．
（3）對a的范圍分段討論計算．

解答 解：（1）∵當x≥0時，$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（x+1）$．∴f（0）=0．
f（x）是定義在R的偶函數(shù)，f（-1）=f（1），
f（1）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（1+1）$=-1．
∴f（-1）=-1．
（2）f（x）是定義在R的偶函數(shù)，當x＜0時，則-x＞0，
∴f（x）=f（-x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（-x+1）$
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1），（x≥0）}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（-x+1），（x＜0）}\end{array}\right.$
（3）由偶函數(shù)的區(qū)間對稱性的單調(diào)性具有相反性，可得：$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（x+1）$在區(qū)間[0，+∞）是減函數(shù)，在（-∞，0）是增函數(shù)．
由于f（a-1）＜f（3-a），所以：|a-1|＞|3-a|．
解得：a＞2．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的綜合運用，還考查了分段函數(shù)的解析式以及轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．