Question

6．已知一組數(shù)據(jù)1，3，5，7的方差為n，則在二項(xiàng)式（2x-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ的展開式所有項(xiàng)中任取一項(xiàng)，取到有理項(xiàng)的概率為（　�。�

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{12}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{5}{7}$

Answer 1

分析 由條件利用方差的定義求得n，再求得（2x-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）²⁰的展開式的通項(xiàng)公式，求得有理項(xiàng)共有7項(xiàng)，而所有項(xiàng)共有21項(xiàng)，從而求得取到有理項(xiàng)的概率．

解答 解：由題意可得，數(shù)據(jù)1，3，5，7的平均值為4，它的方差為n=（1-4）²+（3-4）²+（5-4）²+（7-4）²=20，
二項(xiàng)式（2x-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ=（2x-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）²⁰的展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{20}^{r}$•（-1）^r•2^20-r•${x}^{20-\frac{4r}{3}}$．
令20-$\frac{4r}{3}$為整數(shù)，可得r=0，3，6，9，12，15，18，共計(jì)7項(xiàng)，而展開式共有21項(xiàng)，
故在所有項(xiàng)中任取一項(xiàng)，取到有理項(xiàng)的概率為$\frac{7}{21}$=$\frac{1}{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查方差的定義，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．