Question

若關(guān)于x的不等式x²+ax-c＜0的解集為{x|-2＜x＜1}，對(duì)于任意的t∈[1，2]，函數(shù)f（x）=ax³+（m+

1

2

）x²-cx在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，m的取什值范圍是（　�。�

• A、-

  14

  3

  ＜m＜-3
• B、-3＜m＜-1
• C、-

  14

  3

  ＜m＜-1
• D、-3＜m＜0

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：轉(zhuǎn)化思想,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：先由根與系數(shù)的關(guān)系求出a、c的值，再求出f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），利用f′（x）在（2，3）上有零點(diǎn)，f′（2）f′（3）＜0，求出m的取值范圍．

解答： 解：∵關(guān)于x的不等式x²+ax-c＜0的解集為{x|-2＜x＜1}，
∴

-a=-2+1=-1 -c=-2×1=-2

，
解得a=1，c=2；
∴f（x）=ax³+（m+

1

2

）x²-cx=x³+（m+

1

2

）x²-2x，
求導(dǎo)得f′（x）=3x²+（2m+1）x-2；
又∵對(duì)于任意的t∈[1，2]，f（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，
∴f′（x）在（2，3）上有零點(diǎn)，
∴f′（2）f′（3）＜0，
即[10+2（2m+1）][25+3（2m+1）]＜0，
解得-

14

3

＜m＜-3，
∴m的取什值范圍是-

14

3

＜m＜-3．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．