Question

已知點(diǎn)A（x₁，m），B（x₂，m），C（x₂，0），D（x₁，0），其中x₂＞x₁＞0，且

x=x1 y=m

和

x=x2 y=m

為方程yx²-x+y=0的兩組不同實(shí)數(shù)解，若四邊形ABCD是矩形，則此矩形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到的圓柱的體積的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：利用

x=x1 y=m

和

x=x2 y=m

為方程yx²-x+y=0的兩組不同實(shí)數(shù)解，可得x₁，x₂為方程mx²-x+m=0的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，x₁+x₂=

1

m

，x₁x₂=1，表示出圓柱的體積，利用配方法，即可得出結(jié)論．

解答： 解：∵

x=x1 y=m

和

x=x2 y=m

為方程yx²-x+y=0的兩組不同實(shí)數(shù)解，
∴x₁，x₂為方程mx²-x+m=0的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
∴x₁+x₂=

1

m

，x₁x₂=1，
矩形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到的圓柱的體積V=πm²|x₁-x₂|=πm²•

1 m2 -4

=π

m2-4m4

=π

-4(m2- 1 8 )2+ 1 16

，
∴m²=

1

8

時(shí)，矩形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到的圓柱的體積的最大值為

π

4

．
故答案為：

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查旋轉(zhuǎn)體的體積，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，正確表示圓柱的體積是關(guān)鍵．