Question

14．由矩形ABCD與梯形AFEB構(gòu)成平面多邊形（如圖1），O為AB中點，且AB∥EF，AB=2EF，現(xiàn)將平面多邊形沿AB折起，使矩形ABCD與梯形AFEB所在平面所成二面角為直二面角（如圖2）．
（1）若點P為CF的中點，求證：OP∥平面DAF；
（2）過點C，B，F(xiàn)的平面將多面體EFADCB分割成兩部分，求兩部分體積的比值．

Answer 1

分析 （1）取FD中點N，連結(jié)AN，NP，OP，則可得四邊形AOPN是平行四邊形，于是OP∥AN，得出OP∥平面DAF；
（2）過F作FG⊥AB，由面面垂直的性質(zhì)可得FG⊥平面ABCD，BC⊥平面ABEF，用AB，BC，F(xiàn)G表示出兩個棱錐的體積，得出體積比．

解答 解：（1）取DF的中點N，連結(jié)AN，OP，NP，
∵P是CF的中點，
∴PN$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，又AO$\stackrel{∥}{=}$CD，
∴PN$\stackrel{∥}{=}$AO，
∴四邊形AOPN是平行四邊形，
∴OP∥AN，又OP?平面DAF，AN?平面DAF，
∴OP∥平面DAF．
（2）過點F作FG⊥AB于G，
∵平面ABCD⊥平面AFEB，平面ABCD∩平面AFEB=AB，F(xiàn)G?平面AFEB，BC?平面ABCD，
∴FG⊥平面ABCD．BC⊥平面AFEB，
∴V_F-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{矩形ABCD}•FG$=$\frac{1}{3}AB×BC×FG$．
V_C-BEF=$\frac{1}{3}{S}_{△BEF}•BC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×EF×FG×BC$=$\frac{1}{6}×\frac{1}{2}AB×BC×FG$=$\frac{1}{12}AB×BC×FG$．
∴$\frac{{V}_{F-ABCD}}{{V}_{C-BEF}}=4$．

點評 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．