Question

2．如圖所示，AF、DE分別是⊙O、⊙O₁的直徑，AD與兩圓所在的平面均垂直，AD=8，BC是⊙O的直徑，AB=AC=6，OE∥AD 
（1）求二面角B-AD-F的大��；
（2）求直線BD與EF所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由AD⊥平面⊙O可得AD⊥AB，AD⊥AF，故∠BAF即為所求角的平面角；
（2）以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{FE}$的坐標(biāo)，求出cos＜$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{FE}$＞即可．

解答 解：（1）∵AD與兩圓所在的平面均垂直，
∴AD⊥AB，AD⊥AF，
∴∠BAF是二面角B-AD-F的平面角，
∵AB=AC，∠BAC=90°，O是BC的中點(diǎn)，
∴∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°．
即二面角 QUOTE 的大小為45°．
（2）∵OA=OB，∠BAO=45°，∴∠AOB=90°．
以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B，OF，OE所在直線為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則O（0，0，0），A（0，-3$\sqrt{2}$，0），B（3$\sqrt{2}$，0，0），D（0，-3$\sqrt{2}$，8），E（0，0，8），F(xiàn)（0，3$\sqrt{2}$，0），
∵$\overrightarrow{BD}$=（-3$\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$，8），$\overrightarrow{FE}$=（0，-3$\sqrt{2}$，8），
∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{FE}$=0+18+64=82．|$\overrightarrow{BD}$|=10，|$\overrightarrow{FE}$|=$\sqrt{82}$．
∴cos＜$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{FE}$＞=$\frac{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{FE}}{|\overrightarrow{BD}||\overrightarrow{FE}|}$=$\frac{82}{10•\sqrt{82}}$=$\frac{\sqrt{82}}{10}$．
故直線BD與EF所成的角為arccos$\frac{\sqrt{82}}{10}$．

點(diǎn)評 本題考查了空間角的計(jì)算，平面向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．