Question

已知函數(shù)f（x）=

1+x

-x．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若g（x）=

1-x

+x，試判斷F（x）=lg

f(x)

g(x)

的奇偶性；
（3）若函數(shù)y=f（ax）在區(qū)間（-1，1）上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的值域,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令t=

1+x

，t≥0，則x=t²-1，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)的值域；
（2）由已知可得F（x）=lg

f(x)

g(x)

=lg（

1+x

-x）-lg（

1-x

+x），進(jìn)而可得F（-x）=-F（x），進(jìn)而根據(jù)奇函數(shù)的定義，可得：F（x）=lg

f(x)

g(x)

為奇函數(shù)；
（3）根據(jù)函數(shù)y=f（ax）在區(qū)間（-1，1）上存在零點(diǎn)，可得方程

1+ax

-ax=0在區(qū)間（-1，1）上有根，即方程a²x²-ax-1=0在區(qū)間（-1，1）上有根，求出方程的根，構(gòu)造關(guān)于a的不等式，解得實(shí)數(shù)a的范圍．

解答： 解：（1）令t=

1+x

，t≥0，則x=t²-1，
∴y=f（x）=

1+x

-x=-t²+t+1，
當(dāng)t=

1

2

時，函數(shù)取最大值

5

4

，無最小值，
故函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，

5

4

]；
（2）∵g（x）=

1-x

+x，
∴F（x）=lg

f(x)

g(x)

=lg

1+x -x

1-x +x

=lg（

1+x

-x）-lg（

1-x

+x），
∴F（-x）=lg（

1-x

+x）-lg（

1+x

-x）=-[lg（

1+x

-x）-lg（

1-x

+x）=-F（x），
∴F（x）=lg

f(x)

g(x)

為奇函數(shù)，
（3）函數(shù)y=f（ax）在區(qū)間（-1，1）上存在零點(diǎn)，
則方程

1+ax

-ax=0在區(qū)間（-1，1）上有根，
即方程1+ax=a²x²在區(qū)間（-1，1）上有根，
即方程a²x²-ax-1=0在區(qū)間（-1，1）上有根，
即

1+ 5

2a

∈（-1，1），或

1- 5

2a

∈（-1，1），
解得：a∈（-∞，-

5 -1

2

）∪（

5 -1

2

，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)的值域，函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，難度較大，屬于難題．