Question

19．下列命題中，真命題是（　　）

• A． “x＞2”是”x²-x-2＞0”必要條件
• B． “$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0”是“$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$”充要條件
• C． ?x∈R，x²+$\frac{1}{{{x^2}+1}}$≥1
• D． ?x∈R，cosx+sinx＞2

Answer 1

分析 A．根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷，
B．根據(jù)向量垂直的等價條件進(jìn)行判斷，
C．根據(jù)基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷，
D．根據(jù)三角函數(shù)的輔助角公式，結(jié)合三角函數(shù)的有界性進(jìn)行判斷．

解答 解：A．由x²-x-2＞0得x＞2或x＜1，則“x＞2”是”x²-x-2＞0”充分不必要條件，故A錯誤，
B．若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0成立，
當(dāng)$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow$=$\overrightarrow{0}$時，滿足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，但$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$不成立，故B錯誤，
C．x²+$\frac{1}{{{x^2}+1}}$=x²+1+$\frac{1}{{{x^2}+1}}$-1≥2$\sqrt{（{x}^{2}+1）•\frac{1}{{x}^{2}+1}}$-1=2-1=1，
當(dāng)且僅當(dāng)x²+1=$\frac{1}{{{x^2}+1}}$，即x²+1=1，即x=0時取等號，故?x∈R，x²+$\frac{1}{{{x^2}+1}}$≥1為真命題．
D．cosx+sinx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
而2∉[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，故?x∈R，cosx+sinx＞2錯誤，故D錯誤，
故選：C

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及充分條件和必要條件，向量垂直的應(yīng)用以及特稱命題的判斷，涉及的知識點較多，但難度不大．