Question

9．定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），f（-1）=1，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）=（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． -1
• D． 0

Answer 1

分析 由題意可得f（x）=f（x+3），故函數(shù)f（x）是周期等于3的周期函數(shù)．再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求得f（3）=f（0）=0，f（1）=-1，f（2）=1
求得一個周期內(nèi)，f（1）+f（2）+f（3）的值，可得要求式子的值．

解答 解：定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），∴f（x）=f（x+3），故函數(shù)f（x）是周期等于3的周期函數(shù)．
∴f（0）=f（3）=0．
∵f（-1）=-f（1）=1，∴f（1）=-1，f（2）=f（-1+3）=f（-1）=1，∴f（1）+f（2）+f（3）=-1+1+0=0，
則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）=669×[f（1）+f（2）+f（3）]+f（1）+f（2）=669×0+（-1）+1=0，
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．