Question

9．已知x≠0，求證2x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$$≥2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由x≠0，可得2x²＞0，$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，運(yùn)用二元均值不等式：a+b≥2$\sqrt{ab}$（a，b＞0，a=b取得等號(hào)），即可得證．

解答 證明：由x≠0，可得2x²＞0，$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
即有2x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$≥2$\sqrt{2{x}^{2}•\frac{1}{{x}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)2x²=$\frac{1}{{x}^{2}}$，即x=±$\root{4}{\frac{1}{2}}$時(shí)，取得等號(hào)．
則2x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$$≥2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用均值不等式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．