Question

1．在△ABC中，cos2A-3cos（B+C）=1，△ABC的面積為$5\sqrt{3}，b=5$，則sinBsinC=$\frac{5}{7}$．

Answer 1

分析 利用倍角公式和誘導公式即可得出A；由三角形的面積公式c=4．由余弦定理得a．通過正弦定理求解即可．

解答 解：由cos2A-3cos（B+C）=1，得2cos²A+3cosA-2=0，
即（2cosA-1）（cosA+2）=0，解得cosA=$\frac{1}{2}$或cosA=-2（舍去）．
因為0＜A＜π，所以A=$\frac{π}{3}$．
由S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=5$\sqrt{3}$，得到bc=20．又b=5，解得c=4．
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=25+16-20=21，故a=$\sqrt{21}$．
又由正弦定理得sinBsinC=$\frac{a}$sinA•$\frac{c}{a}$sinA=$\frac{bc}{{a}^{2}}$sin²A=$\frac{20}{21}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{5}{7}$．
故答案為：$\frac{5}{7}$．

點評 本題考查三角形的解法，熟練掌握三角函數(shù)的倍角公式和誘導公式、三角形的面積公式、余弦定理、正弦定理是解題的關(guān)鍵．