Question

已知單調(diào)遞減的等比數(shù)列{a_n}滿足：a₂+a₃+a₄=

26

27

，且a₃+

4

27

是a₂，a₄的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求滿足不等式

Sn-m

Sn+1-m

＜

3m

3m+1

成立的所有正整數(shù)m，n組成的有序?qū)崝?shù)對(duì)（m，n）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比q，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)及題設(shè)條件求出a₃的值，從而求得a₁、q的值，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可求；
（2）求出等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，代入

Sn-m

Sn+1-m

＜

3m

3m+1

化簡(jiǎn)，根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征利用正整數(shù)的條件解不等式．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q≠0），
∵a₃+

4

27

是a₂，a₄的等差中項(xiàng)，∴2（a₃+

4

27

）=a₂+a₄，即2a₃+

8

27

=a₂+a₄．
又a₂+a₃+a₄=

26

27

，∴a₃=

2

9

，
∴a₂+a₄=

a3

q

++a₃q=

2

9q

+

2

9

q=

20

27

，解得q=

1

3

或q=3．
又{a_n}是遞減的等比數(shù)列，q=

1

3

，a1=

a3

q2

=

2 9

1 9

=2．
∴{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2•

1

3n-1

；
（2）由（1）得，Sn=

2(1- 1 3n )

1- 1 3

=3-

1

3n-1

，
由

Sn-m

Sn+1-m

＜

3m

3m+1

，得

3- 1 3n-1 -m

3- 1 3n -m

＜

3m

3m+1

，
即

3n(3-m)-3

3n(3-m)-1

＜

3m

3m+1

，也就是

2

3n(3-m)-1

＞

1

3m+1

．
∵3^m+1＞0，∴3ⁿ（3-m）＞1，
則m＜3，且1＜3ⁿ（3-m）＜2•3^m+3．
∵m∈N^*，∴m=1或2，
當(dāng)m=1時(shí)，有1＜2•3ⁿ＜9，n=1；
當(dāng)m=2時(shí)，有1＜3ⁿ＜21，n=1或n=2．
綜上，存在所有符合條件的實(shí)數(shù)對(duì)（m，n）為（1，1），（2，1），（2，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列求和的錯(cuò)位項(xiàng)減法等知識(shí)，也考查了一定的運(yùn)算能力，根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征利用正整數(shù)的條件解不等式是解答（2）的關(guān)鍵，屬難題也是易錯(cuò)題．