【題目】已知為拋物線的焦點(diǎn),過點(diǎn)的直線交拋物線于,兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)當(dāng)拋物線過點(diǎn)時,求拋物線的方程;
(2)證明:是定值.
【答案】(1)y2=4x(2)證明見解析
【解析】
(1)將點(diǎn)代入拋物線方程,即可求得的值,求得拋物線方程;
(2)分類討論,當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程,代入拋物線方程,根據(jù)韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算,即可證明是定值.
解:(1)因為拋物線過點(diǎn),
所以,,
所以拋物線的方程;
(2)證明:當(dāng)直線斜率存在時,,設(shè)直線的方程為,則,
將(1)代入(2)得,,化簡得,
設(shè),的坐標(biāo)分別為,,則,
因為點(diǎn),都在拋物線上,所以,,
所以,所以,
因為點(diǎn),分布在軸的兩側(cè),所以,所以,
所以,,所以,是定值.
當(dāng)直線無斜率時,,設(shè),的坐標(biāo)分別為,,,,則,代入拋物線方程得,,,
所以,因為點(diǎn),分布在軸的兩側(cè),所以,所以,
所以,,所以,是定值.
綜上,,是定值.
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【題目】如圖的空間幾何體中,四邊形為邊長為2的正方形,平面,,,且,.
(1)求證:平面平面;
(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
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【題目】如圖,∠C=,AC=BC,M、N分別是BC、AB的中點(diǎn),將△BMN沿直線MN折起,使二面角B′﹣MN﹣B的大小為,則B'N與平面ABC所成角的正切值是( 。
A. B. C. D.
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【題目】勒洛三角形是具有類似圓的“定寬性”的面積最小的曲線,它由德國機(jī)械工程專家,機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn),其作法是:以等邊三角形每個頂點(diǎn)為圓心,以邊長為半徑,在另兩個頂點(diǎn)間作一段弧,三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形,現(xiàn)在勒洛三角形中隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自正三角形外的概率為( )
A.B.
C.D.
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【題目】年以來精準(zhǔn)扶貧政策的落實(shí),使我國扶貧工作有了新進(jìn)展,貧困發(fā)生率由年底的下降到年底的,創(chuàng)造了人類減貧史上的的中國奇跡.“貧困發(fā)生率”是指低于貧困線的人口占全體人口的比例,年至年我國貧困發(fā)生率的數(shù)據(jù)如下表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
貧困發(fā)生率 | 10.2 | 8.5 | 7.2 | 5.7 | 4.5 | 3.1 | 1.4 |
(1)從表中所給的個貧困發(fā)生率數(shù)據(jù)中任選兩個,求兩個都低于的概率;
(2)設(shè)年份代碼,利用線性回歸方程,分析span>年至年貧困發(fā)生率與年份代碼的相關(guān)情況,并預(yù)測年貧困發(fā)生率.
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:
(的值保留到小數(shù)點(diǎn)后三位)
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè),已知在上存在兩個極值點(diǎn),且,求證:(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
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【題目】已知橢圓:的一個焦點(diǎn)與拋物線:的焦點(diǎn)重合,且橢圓的離心率為.
(1)求的方程;
(2)過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于兩點(diǎn),為原點(diǎn),求面積的最大值.
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【題目】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O為AC的中點(diǎn),PO⊥平面ABCD,PO=2,M為PD的中點(diǎn).
(1)證明:PB∥平面ACM;
(2)證明:AD⊥平面PAC.
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【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,a1=1,b1=﹣1,a2-b2=2.
(1)若a3-b3=6,求{bn}的通項公式
(2)若T3=﹣13,求S5.
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