Question

10．在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若$\overrightarrow{AP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$，則|$\overrightarrow{AP}$|的最大值為（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{7}}{3}$
• B． $\frac{8}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{19}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{13}}{3}$

Answer 1

分析 以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得y=$\sqrt{3}$（x-2），當(dāng)直線y=$\sqrt{3}$（x-2）與直線BC相交時(shí)，此時(shí)
此時(shí)|$\overrightarrow{AP}$|最大，問題得以解決

解答 解：以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
∵AB=3，AC=2，∠BAC=60°，
∴A（0，0），B（3，0），C（1，$\sqrt{3}$），
設(shè)點(diǎn)P為（x，y），0≤x≤2，0≤y≤$\sqrt{3}$，
∵$\overrightarrow{AP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$，
∴（x，y）=$\frac{2}{3}$（3，0）+λ（1，$\sqrt{3}$）=（2+λ，$\sqrt{3}$λ），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2+λ}\\{y=\sqrt{3}λ}\end{array}\right.$，
∴y=$\sqrt{3}$（x-2），①
直線BC的方程為y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-3），②，
聯(lián)立①②，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{3}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
此時(shí)|$\overrightarrow{AP}$|最大，
∴|AP|=$\sqrt{\frac{49}{9}+\frac{1}{3}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了向量在及幾何中的應(yīng)用，關(guān)鍵建立直角坐標(biāo)系，考查了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題