Question

18．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形，D是棱A₁C₁的中點(diǎn)，CC₁=h（h＞0）．
（1）證明：BC₁∥平面AB₁D；
（2）若直線(xiàn)BC₁與平在A(yíng)BB₁A₁所成角的大小為$\frac{π}{6}$，求h的值．

Answer 1

分析 （1）連接A₁B交AB₁于E，連接DE，利用三角形中位線(xiàn)定理可得DE∥BC₁，再由線(xiàn)面平行的判定可得BC₁∥平面AB₁D；
（2）以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OC所在直線(xiàn)為x、y軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得平面ABB₁A₁ 的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），求得$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，$\sqrt{3}$，h），利用直線(xiàn)BC₁與平在A(yíng)BB₁A₁所成角的大小為$\frac{π}{6}$列式求得h值．

解答 （1）證明：連接A₁B交AB₁于E，連接DE，
則DE是△A₁BC的中位線(xiàn)，
∴DE∥BC₁．
又DE?平面AB₁D，BC₁?平面AB₁D，
∴BC₁∥平面AB₁D；
（2）解：以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OC所在直線(xiàn)為x、y軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（1，0，0），C₁（0，$\sqrt{3}$，h），由圖可得平面ABB₁A₁ 的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
又$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，$\sqrt{3}$，h），
∴sin$\frac{π}{6}$=|cos＜$\overrightarrow{B{C}_{1}}$$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$，
即$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{{h}^{2}+4}}=\frac{1}{2}$，解得h=$2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求二面角的平面角，是中檔題．