Question

15．如圖是函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象，M，N是它與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，D，C分別為它的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，點(diǎn)F（0，1）是線段MD的中點(diǎn)，三角形MDC的面積為$\frac{2π}{3}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）-m＞0在$x∈[{-\frac{π}{36}，\frac{π}{36}}]$上恒成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，再往上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．求y=g（x）在區(qū)間[2009π，2017π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意根據(jù)點(diǎn)F（0，1）是線段MD的中點(diǎn)，求得最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的坐標(biāo)，可得A的值，再根據(jù)三角形MDC的面積為$\frac{2π}{3}$，求得ω的值，再根據(jù)特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求得φ的值，可得函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）的解析式．
（Ⅱ）若f（x）-m＞0在$x∈[{-\frac{π}{36}，\frac{π}{36}}]$上恒成立，求得f（x）的最小值，可得m的取值范圍．
（Ⅲ）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再根據(jù)g（x）的周期性求得 y=g（x）在區(qū)間[2009π，2017π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）由點(diǎn)F（0，1）是線段MD的中點(diǎn)，可知A=2，三角形MDC的面積為$\frac{1}{2}×\frac{T}{2}×2×2=\frac{2π}{3}$，
所以$T=\frac{2π}{3}，ω=\frac{2π}{T}=3$，設(shè)點(diǎn)D（x₀，2），則M（-x₀，0），
∴$4（{x_0}-（-{x_0}））=\frac{2π}{3}，{x_0}=\frac{π}{12}$，即$D（\frac{π}{12}，2）$，所以$2sin（3×\frac{π}{12}+ϕ）=2$，
∵$0＜ϕ＜\frac{π}{2}$，∴$ϕ=\frac{π}{4}$，所以函數(shù)f（x）的解析式$f（x）=2sin（3x+\frac{π}{4}）$
由$\frac{π}{2}+2kπ≤3x+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ（k∈Z）$得$\frac{π}{4}+2kπ≤3x≤\frac{5π}{4}+2kπ（k∈Z）$
得$\frac{π}{12}+\frac{2kπ}{3}≤x≤\frac{5π}{12}+\frac{2kπ}{3}（k∈Z）$，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為$[\frac{π}{12}+\frac{2kπ}{3}，\frac{5π}{12}+\frac{2kπ}{3}]（k∈Z）$．
（Ⅱ）因?yàn)椴坏仁絝（x）-m＞0在$x∈[{-\frac{π}{36}，\frac{π}{36}}]$上恒成立，
所以m＜（f（x））_min在$x∈[{-\frac{π}{36}，\frac{π}{36}}]$，∵$x∈[{-\frac{π}{36}，\frac{π}{36}}]$，∴$3x+\frac{π}{4}∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]．f{（x）_{min}}=2sin\frac{π}{6}=1$，即m＜1．
（Ⅲ）依題意得$g（x）=f（x+\frac{π}{6}）+1=2cos（3x+\frac{π}{4}）+1$，
其最小正周期$T=\frac{2π}{3}$，由$2cos（3x+\frac{π}{4}）+1=0$，得$cos（3x+\frac{π}{4}）=-\frac{1}{2}$，
所以$3x+\frac{π}{4}=2kπ±\frac{2π}{3}，k∈Z$，即$x=\frac{2kπ}{3}+\frac{5π}{36}，k∈Z$或$x=\frac{2kπ}{3}-\frac{11π}{36}，k∈Z$，
區(qū)間[2009π，2017π]的長(zhǎng)度為12個(gè)周期，
若零點(diǎn)不在區(qū)間的端點(diǎn)，則每個(gè)周期有2個(gè)零點(diǎn)；
若零點(diǎn)在區(qū)間的端點(diǎn)，則僅在區(qū)間左或右端點(diǎn)處得一個(gè)區(qū)間含3個(gè)零點(diǎn)，其它區(qū)間仍是2個(gè)零點(diǎn)；
故當(dāng)$2009π≠\frac{2kπ}{3}+\frac{5π}{36}，k∈Z$且$2009π≠\frac{2kπ}{3}-\frac{11π}{36}，k∈Z$，故有12×2=24個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出ω 和φ的值；正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性、零點(diǎn)，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．