Question

12．?dāng)?shù)列{a_n}滿足${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}-9}}{{{a_n}-4}}（{n∈{N^+}}）$，且a₁=2．
（1）寫出a₂，a₃，a₄的值；
（2）歸納猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（3）設(shè)${b_n}=（{{a_{n+1}}-3}）（{{a_n}-3}）（{n∈{N^+}}）$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=2，${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}-9}}{{{a_n}-4}}（{n∈{N^+}}）$，分別令n=1，2，3，即可得出；
（2）由（1）猜想：a_n=3-$\frac{1}{n}$，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可，
（3）先求出b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，裂項(xiàng)求和即可．

解答 解：（1）{a_n}滿足${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}-9}}{{{a_n}-4}}（{n∈{N^+}}）$，且a₁=2，
∴a₂=$\frac{2{a}_{1}-9}{{a}_{2}-4}$=$\frac{2×2-9}{2-4}$=$\frac{5}{2}$，a₃=$\frac{2×\frac{5}{2}-9}{\frac{5}{2}-4}$=$\frac{8}{3}$，a₃=$\frac{2×\frac{8}{3}-9}{\frac{8}{3}-4}$=$\frac{11}{4}$，
（2）可以猜想a_n=3-$\frac{1}{n}$，
證明如下：①當(dāng)n=1時(shí)，猜想當(dāng)然顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N⁺）時(shí)猜想成立，
即a_k=3-$\frac{1}{k}$，則a_k+1=$\frac{2{a}_{k}-9}{{a}_{k}-4}$=$\frac{-3-\frac{2}{k}}{-1-\frac{1}{k}}$=$\frac{3k+2}{k+1}$=3-$\frac{1}{k+1}$，
故當(dāng)然n=k+1時(shí)猜想成立，
由①②可知，猜想成立；
（3）由（2）知b_n=$\frac{1}{n+1}•\frac{1}{n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故T_n=$\sum_{i=1}^{n}$（$\frac{1}{i}$-$\frac{1}{i+1}$）=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法、遞推公式、數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了猜想歸納能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．