Question

14．向量$\overrightarrow{m}$和$\overrightarrow{n}$的起點都在坐標(biāo)原點．$\overrightarrow{m}$=（$\frac{{t}^{2}-5}{2a}$，t）．$\overrightarrow{n}$=（-$\frac{{t}^{2-5}}{2b}$，t）（a，b為正常數(shù)，t∈R）．
（1）當(dāng)實數(shù)t變化時．求$\overrightarrow{m}$和$\overrightarrow{n}$的終點的運動軌跡C₁和C₂
（2）有長方形ABCD的四個頂點都在（1）中的C₁與C₂所圍成圖形的邊界上．且長方形各邊分別與x軸．y軸平行．頂點A，B在C₂上．A（x，y），求該長方形的面積f（x）及其定義域；
（3）在上述條件下．若所有長方形ABCD中面積最大的是正方形，求a與b的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y），則（x，y）=（$\frac{{t}^{2}-5}{2a}$，t），設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y），則（x，y）=（-$\frac{{t}^{2}-5}{2b}$，t），由此能求出$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$的終點的軌跡．
（2）設(shè)A在第一象限，由題意A（x，$\sqrt{-2bx+5}$），B（x，-$\sqrt{-2bx+5}$），設(shè)D（x₀，$\sqrt{-2bx+5}$），由此能求出該長方形的面積f（x）及其定義域．
（3）設(shè)g（x）=x²（-2bx+5），（0$≤x≤\frac{5}{2b}$），則f（x）與g（x）同步最大，故只需研究使g（x）最大時x的取值，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出結(jié)果．

解答 解：（1）設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y），則（x，y）=（$\frac{{t}^{2}-5}{2a}$，t），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{t}^{2}-5}{2a}}\\{y=t}\end{array}\right.$，∴y²=-2bx+5，
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y），則（x，y）=（-$\frac{{t}^{2}-5}{2b}$，t），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{{t}^{2}-5}{2b}}\\{y=t}\end{array}\right.$，∴y²=-2bx+5，
∴$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$的終點的軌跡分別是拋物線C₁：y²=2ax+5和C₂：y²=-2bx+5．
（2）設(shè)A在第一象限，由點A在C₁上得y=$\sqrt{-2bx+5}$，
∴A（x，$\sqrt{-2bx+5}$），B（x，-$\sqrt{-2bx+5}$），
∵AD∥x軸，故設(shè)D（x₀，$\sqrt{-2bx+5}$），
代入C₁：y²=2ax+5，得-2bx+5=2ax+5，∴${x}_{0}=-\frac{a}x$，
∴D（-$\frac{a}x$，$\sqrt{-2bx+5}$），∴|AB|=2$\sqrt{-2bx+5}$，
∴|AD|=x-（-$\frac{a}x$）=$\frac{a+b}{a}$x．
∴f（x）=|AB|•|CD|=$\frac{2（a+b）}{a}•x\sqrt{-2bx+5}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{-2bx+5≥0}\end{array}\right.$，得0≤x≤$\frac{5}{2b}$．
（3）設(shè)g（x）=x²（-2bx+5），（0$≤x≤\frac{5}{2b}$），
則f（x）與g（x）同步最大，故只需研究使g（x）最大時x的取值，
令g′（x）=2x（-2bx+5）+x²（-2b）=-2x（3bx-5）=0，
則${x}_{1}=0，{x}_{2}=\frac{5}{3b}$，則增減表如下：

x	0	（0，$\frac{5}{3b}$）	$\frac{5}{3b}$	（$\frac{5}{3b}$，$\frac{5}{2b}$）	$\frac{5}{2b}$
g′（x）		+	0	-
g（x）	0	↑	極大值	↓	0

當(dāng)x=$\frac{5}{3b}$時，g（x）取最大值g（$\frac{5}{3b}$）=$\frac{25}{9^{2}}•\frac{5}{3}$=$\frac{125}{27^{2}}$＞0，
∴$x=\frac{5}{3b}$時，g（x）取最大值，此時f（x）取最大值，且ABCD為正方形，
而|AB|=2$\sqrt{-2b•\frac{5}{3}+5}$=$\frac{2}{3}\sqrt{15}$，|AD|=$\frac{5}{3b}$（1+$\frac{a}$）=$\frac{5}{3}$（$\frac{1}{a}+\frac{1}$），
由|AB|=|AD|，得：$\frac{2}{3}\sqrt{15}$=$\frac{5}{3}$（$\frac{1}{a}+\frac{1}$），
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}$=$\frac{2}{5}\sqrt{15}$，
∴a，b應(yīng)確定的條件是$\frac{1}{a}+\frac{1}=\frac{2\sqrt{15}}{5}$，a＞0，b＞0．

點評 高考題主要考查知識的交匯點，本題體現(xiàn)了這一高考發(fā)展趨勢，主要考查向量、軌跡、坐標(biāo)法，函數(shù)最大值等知識點，綜合性強，難度大．