Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（4，0），B（2，4），C（0，2），動(dòng)點(diǎn)M在△ABC區(qū)域內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng)，設(shè)$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OC}$，則λ+μ的取值范圍是[1，$\frac{5}{2}$]．

Answer 1

分析 作圖并設(shè)M（x，y），從而由向量可得（x，y）=λ（4，0）+μ（0，2）；從而求得λ+μ=$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{2}$，從而轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題求解即可．

解答 解：如圖，設(shè)M（x，y），
所以（x，y）=λ（4，0）+μ（0，2）；
故λ=$\frac{x}{4}$，μ=$\frac{y}{2}$，所以λ+μ=$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{2}$，
問(wèn)題等價(jià)于當(dāng)M在△ABC內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng)時(shí)，
求z=$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{2}$的取值范圍，
運(yùn)用線性規(guī)劃知識(shí)可知
當(dāng)M在點(diǎn)B時(shí)z_max=$\frac{5}{2}$，當(dāng)M在AC上任意一點(diǎn)時(shí)z_min=1，
所以λ+μ取值范圍是[1，$\frac{5}{2}$]．
故答案為：[1，$\frac{5}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性規(guī)劃的變形應(yīng)用及平面向量的應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用，屬于中檔題．