Question

13．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且BC邊上的高為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，則$\frac{c}+\frac{c}$取得最大值時，內(nèi)角A的值為$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 利用三角形面積公式和余弦定理可得$\frac{2}{{\sqrt{3}}}sinA+2cosA=\frac{c}+\frac{c}$，由三角函數(shù)恒等變換的應用化簡可得$\frac{c}+\frac{c}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}（sinA+\sqrt{3}cosA）=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sin（A+\frac{π}{3}）$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解．

解答 解：在△ABC中，由題意得：$\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}a×a=\frac{1}{2}×bcsinA⇒\frac{{\sqrt{3}}}{2}{a^2}=bcsinA$，
由余弦定理得：${a^2}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}bcsinA={b^2}+{c^2}-2bccosA$，
所以$\frac{2}{{\sqrt{3}}}sinA+2cosA=\frac{c}+\frac{c}$，
即$\frac{c}+\frac{c}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}（sinA+\sqrt{3}cosA）=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sin（A+\frac{π}{3}）$，
所以當$A=\frac{π}{6}$時，$\frac{c}+\frac{c}$取得最大值．
故答案為：$\frac{π}{6}$．

點評 本題主要考查了三角形面積公式和余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．