Question

14．為了解春季晝夜溫差大小與某種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系，現(xiàn)在4月份的30天都記錄了每天晝夜溫差與每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)，從中隨機(jī)挑選了5天進(jìn)行分析研究，得到如表格：

日期	4月1日	4月7日	4月15日	4月21日	4月30日
溫差x/℃	10	11	13	12	8
發(fā)芽數(shù)y/顆	23	25	30	26	16

（1）請根據(jù)4月7日、15日和21日的三天數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$；
（2）若某天種子發(fā)芽率不低于$\frac{1}{4}$，則稱該天種子發(fā)芽情況為“長勢喜人”．根據(jù)表中5天的數(shù)據(jù)，以頻率為概率，估計(jì)4月份的整體種子發(fā)芽情況．若在4月份中隨機(jī)挑選3天，記“長勢喜人”的天數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．（參考公式：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)回歸系數(shù)公式計(jì)算回歸系數(shù)，得出回歸方程；
（2）求出長勢喜人的頻率當(dāng)做概率計(jì)算X分別為0，1，2，3的概率，得出X的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）$\overline{x}$=$\frac{11+13+12}{3}=12$，$\overline{y}$=$\frac{25+30+26}{3}$=27，$\sum_{i=1}^{3}{x}_{i}{y}_{i}$=11×25+13×30+12×26=977，$\sum_{i=1}^{3}{{x}_{i}}^{2}$=11²+13²+12²=434．
∴$\widehat$=$\frac{977-3×12×27}{434-3×1{2}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，$\widehat{a}$=27-$\frac{5}{2}$×12=-3，
所以y關(guān)于x的線性回歸方程為$\overline{y}$=$\frac{5}{2}$x-3．
（2）依題意得，選出的5天中，“長勢喜人”的天數(shù)為3天．所以某一天為“長勢喜人”的概率為$P（長勢喜人）=\frac{3}{5}$，
X的所有可能取值為0，1，2，3．
$P（X=0）=C_3^0{（\frac{2}{5}）^3}{（\frac{3}{5}）^0}=\frac{8}{125}$，$P（X=1）=C_3^1{（\frac{2}{5}）^2}{（\frac{3}{5}）^1}=\frac{36}{125}$，$P（X=2）=C_3^2{（\frac{2}{5}）^1}{（\frac{3}{5}）^2}=\frac{54}{125}$，$P（X=3）=C_3^3{（\frac{2}{5}）^0}{（\frac{3}{5}）^3}=\frac{27}{125}$．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{27}{125}$

∴EX=0×$\frac{8}{125}$+1×$\frac{36}{125}$+2×$\frac{54}{125}$+3×$\frac{27}{125}$=$\frac{9}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了線性回歸方程的求解，隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望計(jì)算，屬于中檔題．