Question

6．已知函數(shù)f（x）=xlnx，若直線l過點（0，-1）并且與曲線y=f（x）相切，則直線l被圓（x-2）²+y²=4截得的弦長為$\sqrt{14}$．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線l的方程，計算圓心到直線的距離和圓的半徑，利用垂徑定理得出弦長．

解答 解：設(shè)直線l的方程為y=kx-1，直線l與f（x）的圖象切點為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{k{x}_{0}-1={y}_{0}}\\{{x}_{0}ln{x}_{0}={y}_{0}}\\{ln{x}_{0}+1=k}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=1}\\{{y}_{0}=0}\\{k=1}\end{array}\right.$．
∴直線l的方程為：y=x-1，即x-y-1=0．
圓（x-2）²+y²=4的圓心為（2，0），半徑r=2．
∴圓心到直線l的距離d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直線l被圓（x-2）²+y²=4截得的弦長為2$\sqrt{{r}^{2}-imaeqc2^{2}}$=$\sqrt{14}$．
故答案為：$\sqrt{14}$．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線與圓的位置關(guān)系，距離公式，屬于中檔題．