Question

2．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（3）求證：對任意的正數(shù)a與b，恒有l(wèi)n$\frac{a}$≥1-$\frac{a}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點，運用點斜式方程可得切線的方程；
（3）要證原不等式成立，即為ln$\frac{a}$+$\frac{a}$-1≥0，而f（x）=ln（x+1）+$\frac{1}{x+1}$-1，設(shè)t=x+1，可得F（t）=lnt+$\frac{1}{t}$-1，求出導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間可得極小值且為最小值，再將t換為$\frac{a}$，即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$（x＞-1），
可得導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$=$\frac{x}{（x+1）^{2}}$，
由f′（x）＞0，可得x＞0；由f′（x）＜0，可得-1＜x＜0．
即有f（x）的增區(qū)間為（0，+∞），減區(qū)間為（-1，0）；
（2）由f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{x}{（x+1）^{2}}$，
可得在點（1，ln2-$\frac{1}{2}$）處的切線的斜率為$\frac{1}{4}$，
即有切線的方程為y-（ln2-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$（x-1），
即為x-4y+4ln2-3=0；
（3）證明：要證ln$\frac{a}$≥1-$\frac{a}$，等價為ln$\frac{a}$+$\frac{a}$-1≥0，
而f（x）=ln（x+1）+$\frac{1}{x+1}$-1，
設(shè)t=x+1，可得F（t）=lnt+$\frac{1}{t}$-1，F(xiàn)′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{t-1}{{t}^{2}}$，
可得F（t）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
即有F（t）在t=1處取得最小值，且為F（1）=0，
故F（t）≥F（1）=0，即F（t）=lnt+$\frac{1}{t}$-1≥0，
將t換為$\frac{a}$，即可得證．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式的證明，注意運用換元法和構(gòu)造函數(shù)法，考查運算能力，屬于中檔題．