Question

12．已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E，F(xiàn)分別是AB，PD的中點．
（1）求證：AF∥平面PEC；
（2）求PC與平面PAD所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取PC的中點M，連結(jié)MF、ME，通過中位線定理及線面平行的判定定理即得結(jié)論；
（2）證明CD⊥平面PAD，可得∠CPD為PC與平面PAD所成的角，利用所給數(shù)據(jù)，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：取PC的中點M，連結(jié)MF、ME，
又∵F是PD的中點，∴MF∥DC，且BE=$\frac{1}{2}D$C，
又DC∥AE，∴MF∥AE，
又E是AB的中點，且AB=CD，
∴MF=AE，
∴四邊形AEMF是平行四邊形，∴AF∥EM，
又EM?平面PEC，AF?平面PEC，
∴AF∥平面PEC；
（2）解：∵側(cè)棱PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
又底面ABCD是矩形，∴AD⊥CD，
這樣，CD垂直于平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，∴CD⊥平面PAD
∴∠CPD為PC與平面PAD所成的角．
∵PA=AD=1，AB=2，
∴PC=$\sqrt{6}$，
∴sin∠CPD=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
即PC與平面PAD所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題以四棱錐為載體，考查線面平行，考查線面角，解決問題的關鍵是將空間角找出并且把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，步驟是一作角二證角三求角四結(jié)論．