Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=sinx-cosx+x+1．
（Ⅰ）當(dāng)x∈[0，2π]，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）-ax在[0，π]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）求解得出f′（x）=1+$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），列表判斷單調(diào)性，極值．
（II）由y=f（x）-ax=sinx-cosx+x+1-ax，x∈[0，π]是增函數(shù)，
知y′=cosx+sinx=1-a≥0恒成立，根據(jù)[0，π]上，利用三角函數(shù)性質(zhì)判處最值即可判斷．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=sinx-cosx+x+1，x∈[0，2π]，
知 f′（x）=1+$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）
令f′（x）=0從而sin（x+$\frac{π}{4}$）=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$得x=π或x=$\frac{3π}{2}$

x	（0，π）	π	（π，$\frac{3π}{2}$）	$\frac{3π}{2}$	（$\frac{3π}{2}$，2π）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	π+2	單調(diào)遞減	$\frac{3π}{2}$	單調(diào)遞增

因此，由上表知f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，π）與（$\frac{3π}{2}$，2π），
單調(diào)遞減區(qū)間是（π），$\frac{3π}{2}$，），極小值為f（π）=π+2
（Ⅱ）由y=f（x）-ax=sinx-cosx+x+1-ax，x∈[0，π]是增函數(shù)，
知y′=cosx+sinx+1-a≥0恒成立，
即a-1≤cosx+sinx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）恒成立，
∵x∈[0，π]，$\frac{π}{4}$≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
∴$-\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（x$+\frac{π}{4}$）≤1，
-1≤$\sqrt{2}$sin（x$+\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$
只需a-1≤-1成立，即a≤0．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)最值，單調(diào)性中的運(yùn)用，考查了綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，屬于中檔題．