Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n-2a_n-34，求證：{a_n-1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：等比關(guān)系的確定,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用作差法構(gòu)造等比數(shù)列即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵S_n=n-2a_n-34，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=n-1-2a_n-1-34，
兩式相減得S_n-S_n-1=n-2a_n-34-[（n-1）-2a_n-1-34]，
即a_n=1-2a_n+2a_n-1，
則3a_n=2a_n-1+1，
即3a_n-3=2a_n-1+1-3═2a_n-1-2，
則3（a_n-1）=2（a_n-1-1），
即

an-1

an-1-1

=

2

3

，
故數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，公比q=

2

3

，
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=1-2a₁-34，
即3a₁=-33，解得a₁=-11，
故首項(xiàng)為a₁-1=-11-1=-12，
則a_n-1=-12•（

2

3

）^n-1，
即a_n=1-12•（

2

3

）^n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的證明以及數(shù)列通項(xiàng)公式的區(qū)間，利用作差法以及構(gòu)造法是解決本題的關(guān)鍵．