已知銳角在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足
a+b
cosA+cosB
=
c
cosC

（1）求證：角A，C，B成等差數(shù)列；
（2）若△ABC的面積S△ABC=
3
，求△ABC周長的最小值．
考點：正弦定理,余弦定理
專題：計算題,解三角形
分析：（1）根據(jù)題意，由正弦定理得sin（A-C）=sin（C-B）又A、B、C∈（0，
π
2
），即有-
π
2
＜A-C＜
π
2
，-
π
2
＜C-B＜
π
2
，而y=sinx在（-
π
2
，
π
2
）內(nèi)單調(diào)遞增可得A-C=C-B，故可證．
（2）由A+B+C=π及2C=A+B得C=
π
3
，由S△ABC=
1
2
absinC=
3
⇒ab=4，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab，故a+b+c=a+b+
a2+b2-ab
≥2
ab
+
2ab-ab
=3
ab
=6，當且僅當a=b時，取等號，從而求解．
解答： 解：（1）根據(jù)題意，在△ABC中，由正弦定理得：
sinA+sinB
cosA+cosB
=
sinC
cosC
，即有sinAcosC+sinBcosC=sinCcosA+sinCcosB，
∴sin（A-C）=sin（C-B），
又A、B、C∈（0，
π
2
），∴-
π
2
＜A-C＜
π
2
，-
π
2
＜C-B＜
π
2

而y=sinx在（-
π
2
，
π
2
）內(nèi)單調(diào)遞增
∴A-C=C-B
即有2C=A+B，角A，B，C成等差數(shù)列．
（2）由A+B+C=π及2C=A+B得C=
π
3
，
S△ABC=
1
2
absinC=
3
⇒ab=4，
又c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab，
∴a+b+c=a+b+
a2+b2-ab
≥2
ab
+
2ab-ab
=3
ab
=6
當且僅當a=b時，取等號
∴△ABC周長的最小值是6．
點評：本題主要考察了余弦定理和正弦定理的綜合應用，不等式的解法，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f1（x）=lg（-x-1）的定義域為M，函數(shù)f2（x）=lg（x-3）的定義域為N，A=N∪M，函數(shù)g（x）=2x-a（x≤2）的值域為B．
（1）求A、B；
（2）若函數(shù)A∩B=B，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖為一個四棱錐的正視圖、側(cè)（左）視圖和俯視圖，則該四棱錐的表面積為（　　）
A、3
B、2+
2
C、2
D、3+2
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

“a≤0”是“函數(shù)f（x）=|（ax-1）x|在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增”的（　　）
A、充分不必要條件
B、必要不充分條件
C、充分必要條件
D、既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系，動點P（x，y）在第一象限且點P到點（1，1）的距離等于點P到兩坐標軸距離之和，則x2+y2的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=Mcos（ωx+ϕ）（M＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖所示，AC=BC=
2
2
，∠C=90°，則f(
1
2
)=（　�。�
A、-
1
2
B、
1
2
C、-
2
2
D、
2
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=-x2-4x+1（-3≤x≤3）的值域是（　�。�
A、（-4，5]
B、[-20，4]
C、[-20，5]
D、[4，5]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且A=
2π
3
，b=3，△ABC的面積為
15
3
4
．
（1）求邊c的長；
（2）求cos2B的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-
π
2
＜φ＜
π
2
），其部分圖象如圖所示，則ω，φ的值分別為（　�。�
A、ω=2，φ=
π
3
B、ω=2，φ=
π
6
C、ω=1，φ=
π
3
D、ω=1，φ=
π
6

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