Question

13．如圖所示，已知P、Q是單位正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的面A₁B₁BA和面ABCD的中心．
①求證：PQ∥平面BCC₁B₁．
②設(shè)M為直線C₁D₁中點(diǎn)，求異面直線PQ與AM的夾角．

Answer 1

分析 ①由題意：P、Q是單位正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的面A₁B₁BA和面ABCD的中心．則P，Q分別是A₁B，AC的中點(diǎn)．取A₁ A，AD的中點(diǎn)N，F(xiàn)，連接PN，NF，QF，可得面面平行轉(zhuǎn)化成線面平行．
②通過(guò)補(bǔ)形在該正方體右邊補(bǔ)一個(gè)正方體CC₁D₁D-C₂C₃ D₃D₂，C₂ D₂ 的中點(diǎn)為M₁，PQ∥FN∥A₁D，那么角A₁ D M₁為異面直線PQ與AM的夾角．

解答 解：①證明：由題意：P、Q是單位正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的面A₁B₁BA和面ABCD的中心．則P，Q分別是A₁B，AC的中點(diǎn)．取A₁ A，AD的中點(diǎn)N，F(xiàn)，連接PN，NF，QF，可得PQ∥FN，NF∥平面BCC₁B₁．
∴PQ∥平面BCC₁B₁．
②在該正方體右邊補(bǔ)一個(gè)正方體C C₂ D₂D-C₁ C₃ D₃ D₁，C₃ D₃ 的中點(diǎn)為M₁，PQ∥FN∥A₁D，那么∠A₁ D M₁為異面直線PQ與AM的夾角．
∵$\begin{array}{l}{A_1}D=\sqrt{2}，D{M_1}=\sqrt{1+\frac{5}{4}}=\frac{3}{2}，{A_1}{M_1}=\sqrt{{2^2}+\frac{1}{4}}=\frac{{\sqrt{17}}}{2}\\∴{A_1}{D^2}+D{M_1}^2={A_1}{M_1}^2\end{array}$
所以在三角形A₁ D M₁中，角A₁ D M₁為90°，即為PQ與Ma所成角的值為90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與平面平行的證明和異面直線所成的角的求法．補(bǔ)形法也是一直常見(jiàn)的方法．屬于中檔題．