Question

10．已知某家電生產(chǎn)企業(yè)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查分析，決定調(diào)整產(chǎn)品生產(chǎn)方案，準(zhǔn)備每周（按50個(gè)工時(shí)計(jì)算）生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱共120臺(tái)，且冰箱至少生產(chǎn)30臺(tái)，已知生產(chǎn)這些家電產(chǎn)品每臺(tái)所需工時(shí)和每臺(tái)產(chǎn)值如表：

家電名稱	空調(diào)器	彩電	冰箱
工時(shí)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$
產(chǎn)值/千元	5	4	3

問每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱各多少臺(tái)，才能使產(chǎn)值最高？最高產(chǎn)值是多少？（以千元為單位）

Answer 1

分析 設(shè)出變量，建立目標(biāo)函數(shù)和約束條件，利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)每周生產(chǎn)空調(diào)器x臺(tái)、彩電y臺(tái)，則生產(chǎn)冰箱120-x-y臺(tái)，產(chǎn)值為z．則目標(biāo)函數(shù)為
z=5x+4y+3（120-x-y）=2x+y+360                     …（2分）
題目中包含的限制條件為$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}y+\frac{1}{3}（120-x-y）≤50}\\{120-x-y≥30}\\{x∈N，y∈N}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≤120}\\{x+y≤90}\\{x，y∈N}\end{array}\right.$…（5分）+（3分）
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖（8分）
又因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為y=-2x+z=260，且-2＜-1，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=120}\\{x+y=90}\end{array}\right.$得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（70，20），
所以z的最大值為z=2×70+20+360=520（千元）．…（10分）
則每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)器70臺(tái)，彩電20臺(tái)，冰箱30臺(tái)，產(chǎn)值最高，最高產(chǎn)值為520千元．
…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用問題，根據(jù)條件，建立目標(biāo)函數(shù)和約束條件，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．