Question

14．設(shè)命題p：不等式|2x-1|＜x+a的解集是{x|-$\frac{1}{3}$＜x＜3}；命題q：不等式4x≥ax²+1的解集是∅，若“p或q”為真命題，試求實(shí)數(shù)a的值取值范圍．

Answer 1

分析 解不等式求出命題p中a的值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出命題q為真時(shí)的a的范圍，求出p、q均為假命題時(shí)a的范圍，取補(bǔ)集即可．

解答 解：由|2x-1|＜x+a得$\frac{-a+1}{3}＜x＜a+1$，
由題意得$\left\{\begin{array}{l}\frac{-a+1}{3}=-\frac{1}{3}\\ a+1=3\end{array}\right.⇒a=2$，
∴命題p：a=2．
由4x≥4ax²+1的解集是∅，得4ax²-4x+1≤0無解，
即對(duì)?x∈R，4ax²-4x+1＞0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={（-4）^2}-4×4a×1＜0\end{array}\right.$，得a＞1，
∴命題q：a＞1，
由“p或q”為真命題，得p、q中至少有一個(gè)真命題，
當(dāng)p、q均為假命題，則$\left\{\begin{array}{l}a≠2\\ a≤1\end{array}\right.⇒\{a\left|{a≤1\}}\right.$，
故p、q中至少有一個(gè)真命題時(shí)，a＞1，
∴實(shí)數(shù)a的值取值范圍是（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及復(fù)合命題的判斷，是一道中檔題．