Question

6．△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A，B，C及其三邊a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，
（1）若a，b，c成等比數(shù)列，求證：△ABC為等邊三角形；
（2）用分析法證明：$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$=$\frac{3}{a+b+c}$．

Answer 1

分析 （1）由三內(nèi)角成等差數(shù)列結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可B=$\frac{π}{3}$，再由等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合余弦定理求得a=c，則答案得證；
（2）利用分析法逐步找到使結(jié)論成立的充分條件即可．

解答 證明：（1）由A，B，C成等差數(shù)列，有2B=A+C，①
∵A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，∴A+B+C=π，②
由①②，得B=$\frac{π}{3}$，③
由a，b，c成等比數(shù)列，有b²=ac，④
由余弦定理及③，可得
b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac，
再由④，得a²+c²-ac=ac，即（a-c）²=0，∴a=c，
從而A=C，⑤
由②③⑤，得A=B=C=$\frac{π}{3}$．
∴△ABC為等邊三角形；
（2）欲證：$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$=$\frac{3}{a+b+c}$，
需證$\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}=3$，
即$\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}=1$，
即只需證$\frac{bc+{c}^{2}+{a}^{2}+ab}{ab+^{2}+ac+bc}=1$，
由已知得A+C=2B，∴B=60°，b²=a²+c²-ac，
∴$\frac{bc+{c}^{2}+{a}^{2}+ab}{ab+^{2}+ac+bc}=\frac{bc+{c}^{2}+{a}^{2}+ab}{ab+{a}^{2}+{c}^{2}-ac+ac+bc}=1$，
從而問(wèn)題得證．

點(diǎn)評(píng) 本題是等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合題，考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了利用分析法證明恒成立問(wèn)題，是中檔題．