Question

2．一臺風中心于某天中午12：00在港口O的正南方向，距該港口200$\sqrt{2}$千米的海面A處形成（如圖），并以每小時a千米的速度向北偏東45°方向上沿直線勻速運動，距臺風中心100$\sqrt{5}$千米以內(nèi)的范圍將受到臺風的影響，請建立適當?shù)淖鴺讼担?br />（1）當臺風中心離港口O距離最近時，求該臺風所影響區(qū)域的邊界曲線方程；
（2）若港口O于當天下午17：00開始受到此臺風的影響，
（i）求a的值；
（ii）求港口O受該臺風影響持續(xù)時間段的長．

Answer 1

分析 （1）以O(shè)為原點，正東方向為x正半軸，如圖建立直角坐標系，求得A坐標，過O作臺風中線運動的直線L的垂線，垂足為H，求得H坐標，即可臺風所影響區(qū)域的邊界曲線方程；
（2）依題意知臺風形成后5小時開始影響港口，記以O(shè)為圓心，$100\sqrt{5}$為半徑的圓與L相交于M，N兩點（M離A近），由勾股定理求得HM和AM，即5a=100，即可求得a的中，由MN=2HM=200，t=$\frac{MN}{v}$，即可求得該臺風影響持續(xù)時間段的長．

解答 解：（1）以O(shè)為原點，正東方向為x正半軸，如圖建立直角坐標系，則$A（0，-200\sqrt{2}）$，
過O作臺風中線運動的直線L的垂線，垂足為H，
依題意得：OH=200，OH：y=-x，AH：$y=-200\sqrt{2}$
聯(lián)立求得交點$H（100\sqrt{2}，-100\sqrt{2}）$，
當臺風中心離港口O距離最近時，該臺風影響區(qū)域的邊界曲線方程為圓：${（x-100\sqrt{2}）^2}+{（y+100\sqrt{2}）^2}=50000$；
（2）（i）依題意知臺風形成后5小時開始影響港口，記以O(shè)為圓心，$100\sqrt{5}$為半徑的圓與L相交于M，N兩點（M離A近），
∵$OH=200，OM=100\sqrt{5}$，
∴HM=100，又AH=200，
∴AM=100，于是5a=100，得a=20，
（ii）又MN=2HM=200，
∴t=$\frac{200}{20}=10$，
所以持續(xù)時間段的長為10小時．

點評 本題主要考查了解三角形的實際應用．考查了考生運用所學知識解決實際問題的能力，屬于中檔題．