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17.在△ABC中,∠C=90°,M是長度為定值的BC邊上一點,sin∠BAM=13.若BMMA取得最大值1時,則AC的長為2

分析 先根據(jù)向量的數(shù)量積的運算和向量的投影,以及基本不等式可得a=2,再根據(jù)正弦定理即可得到2+13=4+2,解得即可.

解答 解∵M是長度為定值的BC邊上一點,BMMA取得最大值為1
BMMA=|BM||MA|cos∠AMC=|BM||MC|≤1,
∴當且僅當|BM|=|MC|=1時取等號,
∴a=2,
設AC=b,AB=c,CM=MB=12a=1,
在△ABM中,由正弦定理可得,BMsinBAM=AMsinB,即2+1sinB=113=3,
∴sinB=2+13,
在△ABC中,sinB=c=\frac{\sqrt{4+^{2}}}
2+13=4+2,
解得b=2,
故答案為:2

點評 本題考查正弦定理的應用向量的數(shù)量的積,向量的投影,基本不等式成立的條件,以及勾股定理的應用,屬中檔題.

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