Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直于底面，底面△ABC中AC=3，AB=5，BC=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求證：（1）AC⊥BC₁；
（2）AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：運(yùn)用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理以及線面平行的判定定理，進(jìn)行分別證明．

解答： 證明：（1）在△ABC中，由AC=3，AB=5，BC=4，
∴3²+4²=5²，
∴△ABC為直角三角形，
∴AC⊥BC，
又∵CC₁⊥面ABC，
∴CC₁⊥AC，CC₁∩BC=C，
∴AC⊥面BCC₁，
∴AC⊥BC₁；
（2）連結(jié)B₁C交BC₁于點(diǎn)E，
則E為BC₁的中點(diǎn)，連結(jié)DE，
則在△ABC₁中，DE∥AC₁，
又DE?面CDB₁，AC₁?面B₁CD則AC₁∥面B₁CD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的運(yùn)用以及線面平行的判定定理的運(yùn)用．